MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere Complexe
În planul complex, se consideră numerele z1=3+4iz_1 = 3 + 4i, z2=−1+2iz_2 = -1 + 2i și z3=5−iz_3 = 5 - i, corespunzătoare punctelor A, B, respectiv C. Fie vectorii u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} și v⃗=AC→\vec{v} = \overrightarrow{AC}. a) Exprimați u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} în funcție de z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 și calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. b) Calculați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}| și determinați argumentul numărului complex z=(z2−z1)+(z3−z1)z = (z_2 - z_1) + (z_3 - z_1). c) Demonstrați că punctele A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă z3−z1z2−z1∈R\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Vectorii se exprimă ca diferențe de numere complexe: u⃗=z2−z1=(−1+2i)−(3+4i)=−4−2i\vec{u} = z_2 - z_1 = (-1+2i) - (3+4i) = -4 - 2i, v⃗=z3−z1=(5−i)−(3+4i)=2−5i\vec{v} = z_3 - z_1 = (5-i) - (3+4i) = 2 - 5i. Suma: u⃗+v⃗=(−4−2i)+(2−5i)=−2−7i\vec{u} + \vec{v} = (-4-2i) + (2-5i) = -2 - 7i.
23 puncte
Modulul: ∣u⃗+v⃗∣=∣−2−7i∣=(−2)2+(−7)2=4+49=53|\vec{u} + \vec{v}| = | -2 - 7i | = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4+49} = \sqrt{53}.
32 puncte
Argumentul lui z=−2−7iz = -2 - 7i: arg⁡(z)=arctan⁡(−7−2)+π=arctan⁡(72)+π\arg(z) = \arctan\left(\frac{-7}{-2}\right) + \pi = \arctan\left(\frac{7}{2}\right) + \pi (deoarece punctul este în cadranul III).
43 puncte
Punctele A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă vectorii AB→\overrightarrow{AB} și AC→\overrightarrow{AC} sunt coliniari, adică există k∈Rk \in \mathbb{R} astfel încât AC→=kAB→\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}. Aceasta echivalează cu z3−z1=k(z2−z1)z_3 - z_1 = k (z_2 - z_1), deci z3−z1z2−z1=k∈R\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = k \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.