MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii u⃗=(m+2)i⃗+nj⃗\vec{u} = (m+2)\vec{i} + n\vec{j} și v⃗=3i⃗−2j⃗\vec{v} = 3\vec{i} - 2\vec{j}, unde m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Determinați mm și nn astfel încât u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie perpendiculari și norma lui u⃗\vec{u} să fie 13\sqrt{13}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de perpendicularitate: u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0. Calculăm u⃗⋅v⃗=(m+2)⋅3+n⋅(−2)=3(m+2)−2n=0\vec{u} \cdot \vec{v} = (m+2)\cdot3 + n\cdot(-2) = 3(m+2) - 2n = 0.
24 puncte
Condiția pentru norma lui u⃗\vec{u}: ∣u⃗∣=(m+2)2+n2=13|\vec{u}| = \sqrt{(m+2)^2 + n^2} = \sqrt{13}, deci (m+2)2+n2=13(m+2)^2 + n^2 = 13.
33 puncte
Rezolvăm sistemul: {3(m+2)−2n=0(m+2)2+n2=13\begin{cases} 3(m+2) - 2n = 0 \\ (m+2)^2 + n^2 = 13 \end{cases}. Din prima ecuație, exprimăm n=3(m+2)2n = \frac{3(m+2)}{2}. Înlocuim în a doua: (m+2)2+(3(m+2)2)2=13(m+2)^2 + \left(\frac{3(m+2)}{2}\right)^2 = 13. Adică (m+2)2+9(m+2)24=13(m+2)^2 + \frac{9(m+2)^2}{4} = 13, deci 13(m+2)24=13\frac{13(m+2)^2}{4} = 13, de unde (m+2)2=4(m+2)^2 = 4, deci m+2=±2m+2 = \pm 2. Cazul 1: m+2=2m+2 = 2, atunci m=0m=0, și n=3⋅22=3n = \frac{3\cdot2}{2} = 3. Cazul 2: m+2=−2m+2 = -2, atunci m=−4m=-4, și n=3⋅(−2)2=−3n = \frac{3\cdot(-2)}{2} = -3. Verificăm: pentru m=0,n=3m=0, n=3, u⃗=2i⃗+3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, ∣u⃗∣=4+9=13|\vec{u}| = \sqrt{4+9}=\sqrt{13}, și u⃗⋅v⃗=2⋅3+3⋅(−2)=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 2\cdot3 + 3\cdot(-2)=6-6=0. Pentru m=−4,n=−3m=-4, n=-3, u⃗=−2i⃗−3j⃗\vec{u} = -2\vec{i} -3\vec{j}, ∣u⃗∣=4+9=13|\vec{u}| = \sqrt{4+9}=\sqrt{13}, și u⃗⋅v⃗=(−2)⋅3+(−3)⋅(−2)=−6+6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = (-2)\cdot3 + (-3)\cdot(-2) = -6+6=0. Ambele soluții sunt valide.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.