MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2+2x+1)f(x) = e^{-x} (x^2 + 2x + 1). a) Studiați monotonia funcției ff pe R\mathbb{R}. b) Determinați intervalele de convexitate și punctele de inflexiune. c) Calculați valorile extreme ale funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=e−x(1−x2)f'(x) = e^{-x}(1 - x^2) și derivata a doua f′′(x)=e−x(x2−2x−1)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 2x - 1).
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: e−x>0e^{-x} > 0 pentru orice xx, deci semnul lui f′(x)f'(x) depinde de 1−x21 - x^2. f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1, 1), deci ff este strict crescătoare pe (−1,1)(-1, 1); f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), deci ff este strict descrescătoare pe aceste intervale. Punctele critice sunt x=−1x = -1 și x=1x = 1.
32 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x2−2x−1=0x^2 - 2x - 1 = 0, adică x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}. f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−∞,1−2)(-\infty, 1 - \sqrt{2}) și (1+2,∞)(1 + \sqrt{2}, \infty), deci ff este convexă pe aceste intervale; f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (1−2,1+2)(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}), deci ff este concavă. Punctele de inflexiune sunt x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}.
42 puncte
Determinați extremele: la x=−1x = -1, f(−1)=0f(-1) = 0 este minim local; la x=1x = 1, f(1)=4/ef(1) = 4/e este maxim local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.