MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un semicerc de rază R are ecuația y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2} pentru x∈[−R,R]x \in [-R, R]. Se consideră dreptunghiul înscris cu baza pe axa Ox și vârfurile pe semicerc. Dacă x este abscisa vârfului din dreapta (cu x∈[0,R]x \in [0, R]), determinați funcția arie A(x)A(x) și studiați-i monotonia și convexitatea.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimarea ariei: A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2}.
23 puncte
Calculul derivatei întâi: A′(x)=2R2−x2−2x2R2−x2=2(R2−2x2)R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}}.
32 puncte
Determinarea monotoniei: A′(x)=0⇒x=R2A'(x)=0 \Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{2}}. Pentru x∈[0,R2)x \in [0, \frac{R}{\sqrt{2}}), A′(x)>0A'(x)>0, deci A crescătoare; pentru x∈(R2,R]x \in (\frac{R}{\sqrt{2}}, R], A′(x)<0A'(x)<0, deci A descrescătoare.
43 puncte
Calculul derivatei a doua: A′′(x)=−6xR2−x2+2x3(R2−x2)3/2A''(x) = \frac{-6x}{\sqrt{R^2 - x^2}} + \frac{2x^3}{(R^2 - x^2)^{3/2}}. Se simplifică la A′′(x)=−4x(R2−x2)−2x3(R2−x2)3/2A''(x) = \frac{-4x(R^2 - x^2) - 2x^3}{(R^2 - x^2)^{3/2}} și se analizează semnul: pentru x∈(0,R)x \in (0,R), A′′(x)<0A''(x)<0, deci A este concavă pe interval.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.