MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x-1}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați asimptotele și reprezentați grafic funcția pe baza informațiilor obținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul de definiție este R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}. Asimptota verticală: x=1x=1 deoarece lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty. Asimptota oblică: se împarte polinomul: f(x)=x−1+2x−1f(x) = x-1 + \frac{2}{x-1}, deci asimptota oblică este y=x−1y = x-1.
23 puncte
Derivata întâi: f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+3)(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x -1}{(x-1)^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, adică x2−2x−1=0x^2-2x-1=0, cu soluțiile x=1±2x=1\pm\sqrt{2}. Se studiază semnul: pe (−∞,1−2)(-\infty,1-\sqrt{2}) și (1+2,∞)(1+\sqrt{2},\infty) derivata este pozitivă, deci ff crescătoare; pe (1−2,1)(1-\sqrt{2},1) și (1,1+2)(1,1+\sqrt{2}) derivata este negativă, deci ff descrescătoare.
32 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=ddx(x2−2x−1(x−1)2)f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\right). Se calculează și se obține f′′(x)=4(x−1)3f''(x) = \frac{4}{(x-1)^3}. Semnul depinde de (x−1)3(x-1)^3: pe (−∞,1)(-\infty,1) f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă; pe (1,∞)(1,\infty) f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă.
42 puncte
Reprezentarea grafică: se trasează asimptotele x=1x=1 și y=x−1y=x-1, punctele critice x=1±2x=1\pm\sqrt{2}, și forma funcției bazată pe monotonia și convexitatea determinată, indicând regiunile de creștere/descreștere și concavitate/convexitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.