MediuMonotonie și convexitateClasa 12

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−ax+bf(x) = x \ln x - ax + b, unde aa și bb sunt parametri reali. Să se determine aa și bb astfel încât ff să fie convexă pe (0,∞)(0, \infty) și să aibă un punct de minim local în x=ex = e cu f(e)=0f(e) = 0. Apoi, pentru aceste valori, să se calculeze aria suprafeței delimitate de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=1x = 1 și x=ex = e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează derivatele: f′(x)=ln⁡x+1−af'(x) = \ln x + 1 - a, f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Deoarece x>0x>0, f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈(0,∞)x \in (0, \infty), deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty) indiferent de aa și bb. Condiția de minim local în x=ex=e este f′(e)=0f'(e)=0, adică ln⁡e+1−a=0⇒2−a=0⇒a=2\ln e + 1 - a = 0 \Rightarrow 2 - a = 0 \Rightarrow a=2.
23 puncte
Din condiția f(e)=0f(e)=0, avem eln⁡e−2e+b=0⇒e−2e+b=0⇒b=ee \ln e - 2e + b = 0 \Rightarrow e - 2e + b = 0 \Rightarrow b = e. Astfel, a=2a=2 și b=eb=e, iar funcția devine f(x)=xln⁡x−2x+ef(x) = x \ln x - 2x + e.
33 puncte
Se calculează aria: A=∫1ef(x)dx=∫1e(xln⁡x−2x+e)dxA = \int_{1}^{e} f(x) dx = \int_{1}^{e} (x \ln x - 2x + e) dx. Se integrează: ∫xln⁡xdx=x22ln⁡x−x24+C\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C (prin părți). Atunci A=[x22ln⁡x−x24−x2+ex]1e=(e22⋅1−e24−e2+e2)−(12⋅0−14−1+e)=e24−(−54+e)=e24+54−e=e2−4e+54A = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} - x^2 + e x \right]_{1}^{e} = \left( \frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{e^2}{4} - e^2 + e^2 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} - 1 + e \right) = \frac{e^2}{4} - \left( -\frac{5}{4} + e \right) = \frac{e^2}{4} + \frac{5}{4} - e = \frac{e^2 - 4e + 5}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.