MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Să se studieze monotonia și convexitatea funcției f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Apoi, folosind acest studiu, să se demonstreze inegalitatea ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x) \leq x pentru orice x>−1x > -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x și se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, obținând punctul critic x=1x=1.
22 puncte
Se analizează semnul derivatei întâi: pe (0,1)(0, 1), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff este strict descrescătoare; pe (1,∞)(1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare.
32 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
42 puncte
Se observă că f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x>0x > 0, deci funcția ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
52 puncte
Se consideră funcția g(x)=ln⁡(1+x)−xg(x) = \ln(1+x) - x pe (−1,∞)(-1, \infty). Se calculează g′(x)=11+x−1=−x1+xg'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 = -\frac{x}{1+x}. Se studiază semnul: pentru x>0x > 0, g′(x)<0g'(x) < 0 deci gg descrescătoare; pentru −1<x<0-1 < x < 0, g′(x)>0g'(x) > 0 deci gg crescătoare. Maximul este la x=0x=0 unde g(0)=0g(0)=0, deci g(x)≤0g(x) \leq 0 pentru orice x>−1x > -1, adică ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x) \leq x. Alternativ, se poate folosi convexitatea lui ff pentru a deduce inegalitatea Jensen sau direct prin integrare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.