MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii u⃗=2i⃗+j⃗\vec{u} = 2\vec{i} + \vec{j} și v⃗=ai⃗+bj⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}, cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Știind că ∣u⃗∣=∣v⃗∣|\vec{u}| = |\vec{v}| și că unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este de 120∘120^\circ, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Calculează ∣u⃗∣=22+12=5|\vec{u}| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}.
22 puncte
Scrie condiția pentru modul: ∣v⃗∣=a2+b2=5|\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5}, deci a2+b2=5a^2+b^2=5.
33 puncte
Scrie condiția pentru unghi: cos⁡120∘=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=2a+b5=−12\cos 120^\circ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{2a+b}{5} = -\frac{1}{2}, deci 2a+b=−522a+b = -\frac{5}{2}.
43 puncte
Rezolvă sistemul de ecuații: a2+b2=5a^2+b^2=5 și 2a+b=−522a+b = -\frac{5}{2}.
51 punct
Obține soluțiile: a=−2±32a = \frac{-2 \pm \sqrt{3}}{2} și b=−52−2ab = -\frac{5}{2} - 2a.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.