MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Considerăm funcția f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{x} pentru x>0x > 0. a) Demonstrați că ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty). b) Studiați monotonia funcției ff. c) Aflați punctul de pe graficul funcției unde tangenta este paralelă cu dreapta y=2x+3y = 2x + 3 și calculați distanța de la acest punct la dreapta dată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=2x3f''(x) = \frac{2}{x^3} și arătarea că f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x>0x > 0, confirmând convexitatea.
23 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}, studiul semnului pentru a determina intervalele de monotonie: descrescătoare pe (0,1)(0,1) și crescătoare pe (1,∞)(1,\infty).
32 puncte
Rezolvarea ecuației f′(x)=2f'(x)=2 (deoarece panta tangentei trebuie să fie egală cu panta dreptei date) pentru a găsi x=1x=1 și calculul coordonatelor punctului (1,f(1))=(1,2)(1, f(1)) = (1,2).
42 puncte
Aplicarea formulei distanței de la punctul (1,2)(1,2) la dreapta y=2x+3y = 2x + 3 rescrisă ca 2x−y+3=02x - y + 3 = 0, folosind d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.