MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații exponentiale
Fie funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ex−x−1f(x) = e^x - x - 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Demonstrați că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, ex≥x+1e^x \geq x + 1, cu egalitate doar pentru x=0x=0. c) Folosind punctul b), determinați condițiile pe parametrii reali aa și bb astfel încât ecuația ex=ax+be^x = ax + b să aibă o soluție unică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ex−1f'(x) = e^x - 1. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 și obținem x=0x=0. Studiem semnul: f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−∞,0)x \in (-\infty, 0), f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(0,∞)x \in (0, \infty), deci ff este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și crescătoare pe [0,∞)[0, \infty).
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=ex>0f''(x) = e^x > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci ff este convexă pe R\mathbb{R}.
32 puncte
Din monotonia studiată, minimul funcției este atins în x=0x=0 cu f(0)=0f(0)=0, deci f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice xx, adică ex≥x+1e^x \geq x + 1, cu egalitate doar pentru x=0x=0.
42 puncte
Ecuația ex=ax+be^x = ax + b are soluție unică dacă dreapta y=ax+by = ax + b este tangentă la graficul y=exy = e^x. Din convexitatea lui exe^x și inegalitatea demonstrată, pentru a=1a=1 și b=1b=1, ecuația are soluția unică x=0x=0. În general, condițiile sunt a>0a > 0 și există x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} astfel încât a=ex0a = e^{x_0} și b=ex0(1−x0)b = e^{x_0}(1 - x_0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.