MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie vectorii v1⃗=(121)\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v2⃗=(210)\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v3⃗=(10a)\vec{v_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} și b⃗=(45b)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ b \end{pmatrix} în spațiul R3\mathbb{R}^3. Determinați valorile reale ale lui aa și bb pentru care vectorul b⃗\vec{b} se poate scrie ca o combinație liniară unică a vectorilor v1⃗,v2⃗,v3⃗\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Scrie sistemul liniar pentru combinația liniară: αv1⃗+βv2⃗+γv3⃗=b⃗\alpha \vec{v_1} + \beta \vec{v_2} + \gamma \vec{v_3} = \vec{b}, unde α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}. Obținem: α+2β+γ=4\alpha + 2\beta + \gamma = 4, 2α+β=52\alpha + \beta = 5, α+aγ=b\alpha + a\gamma = b.
22 puncte
Condiția pentru soluție unică: determinantul matricei coeficienților A=(12121010a)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a \end{pmatrix} să fie nenul: det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.
32 puncte
Calculează det⁡(A)=1⋅∣100a∣−2⋅∣201a∣+1⋅∣2110∣=1⋅(1⋅a−0⋅0)−2⋅(2⋅a−0⋅1)+1⋅(2⋅0−1⋅1)=a−4a−1=−3a−1\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot a - 0 \cdot 0) - 2 \cdot (2 \cdot a - 0 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = a - 4a - 1 = -3a - 1.
42 puncte
Setează det⁡(A)≠0⇒−3a−1≠0⇒a≠−13\det(A) \neq 0 \Rightarrow -3a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{1}{3}. Pentru a≠−13a \neq -\frac{1}{3}, sistemul are soluție unică pentru orice bb, dar trebuie să determinăm bb astfel încât soluția să existe pentru coeficienții reali. De fapt, pentru soluție unică, sistemul trebuie să fie compatibil determinat, ceea ce este asigurat de det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, indiferent de bb. Dar bb va fi determinat de soluție.
52 puncte
Pentru a≠−13a \neq -\frac{1}{3}, rezolvă sistemul în funcție de aa și bb. Din primele două ecuații: α+2β+γ=4\alpha + 2\beta + \gamma = 4 și 2α+β=52\alpha + \beta = 5. Exprimă β=5−2α\beta = 5 - 2\alpha. Înlocuiește în prima: α+2(5−2α)+γ=4⇒α+10−4α+γ=4⇒−3α+γ=−6⇒γ=3α−6\alpha + 2(5-2\alpha) + \gamma = 4 \Rightarrow \alpha + 10 - 4\alpha + \gamma = 4 \Rightarrow -3\alpha + \gamma = -6 \Rightarrow \gamma = 3\alpha - 6. Din a treia ecuație: α+aγ=b⇒α+a(3α−6)=b⇒α+3aα−6a=b⇒α(1+3a)=b+6a⇒α=b+6a1+3a\alpha + a\gamma = b \Rightarrow \alpha + a(3\alpha - 6) = b \Rightarrow \alpha + 3a\alpha - 6a = b \Rightarrow \alpha(1+3a) = b + 6a \Rightarrow \alpha = \frac{b+6a}{1+3a} (pentru a≠−13a \neq -\frac{1}{3}). Deoarece α,β,γ\alpha, \beta, \gamma trebuie să fie reale și unice, nu există restricții suplimentare pe bb, deci bb poate fi orice număr real. Dar enunțul cere să determinăm aa și bb; prin urmare, concluzia este că pentru orice a≠−13a \neq -\frac{1}{3} și orice b∈Rb \in \mathbb{R}, combinația liniară este unică. Dacă se dorește o valoare specifică, poate fi dat un exemplu.
61 punct
Concluzie: Valorile sunt a∈R∖{−13}a \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{3}\} și b∈Rb \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.