MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total de producție pentru xx unități ale unui produs este dat de funcția C(x)=0.1x3−1.5x2+9x+10C(x) = 0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 10 (în mii de lei), cu x≥0x \geq 0. a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției cost marginal C′(x)C'(x) și punctele de inflexiune ale funcției C(x)C(x). b) Dacă prețul de vânzare pe unitate este constant și egal cu 15 mii de lei, calculați numărul de unități xx pentru care profitul este maxim și verificați convexitatea funcției profit.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi C′(x)=0.3x2−3x+9C'(x) = 0.3x^2 - 3x + 9 și derivata a doua C′′(x)=0.6x−3C''(x) = 0.6x - 3.
23 puncte
Monotonia lui C′(x)C'(x): C′′(x)>0C''(x) > 0 pentru x>5x > 5, deci C′(x)C'(x) este crescătoare pe (5,∞)(5, \infty); C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru x<5x < 5, deci C′(x)C'(x) este descrescătoare pe (0,5)(0,5). Punctele de inflexiune ale lui C(x)C(x): C′′(x)=0C''(x)=0 pentru x=5x=5, deci punctul de inflexiune este la x=5x=5.
32 puncte
Funcția profit: P(x)=15x−C(x)=−0.1x3+1.5x2+6x−10P(x) = 15x - C(x) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 6x - 10. Derivată: P′(x)=−0.3x2+3x+6P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 6.
42 puncte
Maximizare: rezolvăm P′(x)=0P'(x)=0, adică −0.3x2+3x+6=0-0.3x^2 + 3x + 6=0, obținem x=5+35x = 5 + 3\sqrt{5} (soluția pozitivă). Verificare cu derivata a doua: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3, pentru x=5+35x = 5 + 3\sqrt{5}, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci profitul este maxim. Convexitatea lui P(x)P(x): P′′(x)>0P''(x) > 0 pentru x<5x < 5, deci PP este convexă pe (0,5)(0,5); P′′(x)<0P''(x) < 0 pentru x>5x > 5, deci PP este concavă pe (5,∞)(5, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.