MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−2x+1)f(x) = e^{-x}(x^2 - 2x + 1). a) Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. b) Aflați punctele de extrem local și punctele de inflexiune. c) Utilizând derivata, demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=e−x(−x2+4x−3)f'(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 3) și studiați semnul acesteia pentru a determina intervalele de monotonie.
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=e−x(x2−6x+7)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 7) și studiați semnul acesteia pentru a determina intervalele de convexitate.
32 puncte
Identificați punctele critice din f′(x)=0f'(x)=0, adică x=1x=1 și x=3x=3, pentru extremele locale, și punctele din f′′(x)=0f''(x)=0, adică x=3±2x=3\pm\sqrt{2}, pentru punctele de inflexiune.
42 puncte
Analizați comportamentul funcției ff folosind monotonia și convexitatea, arătând că f(x)=0f(x)=0 se reduce la x2−2x+1=0x^2-2x+1=0, care are rădăcina dublă x=1x=1, dar datorită factorului e−xe^{-x}, ecuația are exact două soluții reale distincte în contextul studiului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.