MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3xln⁡xf(x) = x^3 - 3x \ln x. Determinați intervalele de monotonie și punctele de inflexiune ale funcției ff. Apoi, folosind rezultatele, arătați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact două soluții în intervalul (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−3ln⁡x−3f'(x) = 3x^2 - 3 \ln x - 3.
23 puncte
Studiul semnului derivatei întâi: se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=e−1x = e^{-1}; se analizează semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (0,e−1)(0, e^{-1}) și f′(x)<0f'(x) < 0 pe (e−1,∞)(e^{-1}, \infty), deci ff este crescătoare pe (0,e−1](0, e^{-1}] și descrescătoare pe [e−1,∞)[e^{-1}, \infty).
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−3xf''(x) = 6x - \frac{3}{x}.
42 puncte
Studiul semnului derivatei a doua: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}}; f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (0,12)(0, \frac{1}{\sqrt{2}}) și f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (12,∞)(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty), deci punct de inflexiune la x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}}.
51 punct
Folosind monotonia: f(e−1)=e−3+3e−1>0f(e^{-1}) = e^{-3} + 3e^{-1} > 0, lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 (deoarece xln⁡x→0x \ln x \to 0) și lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty; analizând valorile, ff are un maxim pozitiv și intersectează axa OxOx de două ori datorită variației, deci ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact două soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.