MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,0,2), B(3,4,-1) și C(0,1,5) în spațiul tridimensional. Determinați ecuația planului (P) care conține aceste puncte și calculați volumul tetraedrului OABC, unde O este originea sistemului de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează vectorii AB⃗=(2,4,−3)\vec{AB} = (2,4,-3) și AC⃗=(−1,1,3)\vec{AC} = (-1,1,3).
23 puncte
Determină vectorul normal al planului prin produsul vectorial n⃗=AB⃗×AC⃗=(15,−3,6)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (15, -3, 6).
32 puncte
Scrie ecuația planului (P) folosind punctul A(1,0,2) și vectorul normal n⃗\vec{n}: 15(x−1)−3(y−0)+6(z−2)=015(x-1) - 3(y-0) + 6(z-2) = 0, adică 15x−3y+6z−27=015x - 3y + 6z - 27 = 0.
43 puncte
Calculează volumul tetraedrului OABC cu formula V=16∣OA⃗⋅(OB⃗×OC⃗)∣V = \frac{1}{6} | \vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) |, unde OA⃗=(1,0,2)\vec{OA} = (1,0,2), OB⃗=(3,4,−1)\vec{OB} = (3,4,-1), OC⃗=(0,1,5)\vec{OC} = (0,1,5). Produsul vectorial OB⃗×OC⃗=(21,−15,3)\vec{OB} \times \vec{OC} = (21, -15, 3), apoi produsul scalar OA⃗⋅(21,−15,3)=21∗1+(−15)∗0+3∗2=27\vec{OA} \cdot (21, -15, 3) = 21*1 + (-15)*0 + 3*2 = 27. Volumul este V=16∣27∣=4.5V = \frac{1}{6} |27| = 4.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.