MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Aflați punctele de extrem local și de inflexiune. Apoi, folosind derivata, arătați că pentru orice x>0x > 0, avem inegalitatea ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1, cu egalitate doar pentru x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Calculează derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x.
23 puncte
Determină intervalele de monotonie: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1x > 1, f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1; deci ff este strict descrescătoare pe (0,1](0,1] și strict crescătoare pe [1,∞)[1,\infty), cu minim local la x=1x=1.
31 punct
Calculează derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
42 puncte
Determină convexitatea: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0,\infty) și nu are puncte de inflexiune.
51 punct
Pentru inegalitate, consideră funcția g(x)=x−1−ln⁡xg(x) = x - 1 - \ln x; calculează g′(x)=1−1xg'(x) = 1 - \frac{1}{x}.
62 puncte
Studiază monotonia lui gg: g′(x)>0g'(x) > 0 pentru x>1x > 1, g′(x)<0g'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1, deci gg are minim la x=1x=1 cu g(1)=0g(1)=0; astfel g(x)≥0g(x) \geq 0 pentru x>0x>0, adică ln⁡x≤x−1\ln x \leq x-1, cu egalitate pentru x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.