MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră vectorii a⃗=i⃗+2j⃗+3k⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}, b⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, c⃗=j⃗+4k⃗\vec{c} = \vec{j} + 4\vec{k} și d⃗=5i⃗+7k⃗\vec{d} = 5\vec{i} + 7\vec{k} în R3\mathbb{R}^3. Să se determine scalarii α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} astfel încât αa⃗+βb⃗+γc⃗=d⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{d}. a) Scrieți sistemul liniar de ecuații corespunzător. b) Scrieți matricea extinsă a sistemului. c) Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss sau regula lui Cramer. d) Verificați soluția obținută.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrie sistemul liniar din condiția αa⃗+βb⃗+γc⃗=d⃗\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{d}: {α+2β=52α−β+γ=03α+β+4γ=7\begin{cases} \alpha + 2\beta = 5 \\ 2\alpha - \beta + \gamma = 0 \\ 3\alpha + \beta + 4\gamma = 7 \end{cases}.
22 puncte
Scrie matricea extinsă: (12052−1103147)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 7 \end{array} \right).
34 puncte
Rezolvă sistemul folosind metoda Gauss: scade de 2 ori prima linie din a doua și de 3 ori din a treia, obținând (12050−51−100−54−8)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & -5 & 1 & -10 \\ 0 & -5 & 4 & -8 \end{array} \right), apoi scade a doua linie din a treia, rezultă 3γ=23\gamma = 2 deci γ=23\gamma = \frac{2}{3}, din a doua ecuație β=3215\beta = \frac{32}{15}, din prima α=1115\alpha = \frac{11}{15}.
42 puncte
Verifică soluția: 1115a⃗+3215b⃗+23c⃗=(5,0,7)=d⃗\frac{11}{15}\vec{a} + \frac{32}{15}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c} = (5,0,7) = \vec{d}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.