MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrie
Fie vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} în plan, cu ∣u⃗∣=4|\vec{u}| = 4, ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5, iar unghiul dintre ei este α\alpha, unde sin⁡α=35\sin \alpha = \frac{3}{5}. Calculați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}| și ∣u⃗−v⃗∣|\vec{u} - \vec{v}|, apoi determinați unghiul dintre u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați cos⁡α\cos \alpha folosind identitatea cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha, obținând cos⁡α=45\cos \alpha = \frac{4}{5} (presupunând unghi ascuțit).
23 puncte
Calculați ∣u⃗+v⃗∣|\vec{u} + \vec{v}| cu formula ∣u⃗+v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α=16+25+2⋅4⋅5⋅45=73|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos \alpha = 16 + 25 + 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 73, deci ∣u⃗+v⃗∣=73|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{73}.
32 puncte
Calculați ∣u⃗−v⃗∣|\vec{u} - \vec{v}| cu formula ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡α=16+25−32=9|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos \alpha = 16 + 25 - 32 = 9, deci ∣u⃗−v⃗∣=3|\vec{u} - \vec{v}| = 3.
43 puncte
Determinați unghiul β\beta dintre u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} calculând produsul scalar: (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∣u⃗∣2−∣v⃗∣2=16−25=−9(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 16 - 25 = -9. Atunci cos⁡β=−9∣u⃗+v⃗∣∣u⃗−v⃗∣=−9373=−373\cos \beta = \frac{-9}{|\vec{u} + \vec{v}||\vec{u} - \vec{v}|} = \frac{-9}{3\sqrt{73}} = -\frac{3}{\sqrt{73}}, deci β=arccos⁡(−373)\beta = \arccos\left(-\frac{3}{\sqrt{73}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.