MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x33−2x2+3x+1f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1. Determinați intervalele de monotonie și punctele de inflexiune ale funcției. Apoi, folosind aceste proprietăți, demonstrați că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are exact o rădăcină reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=x2−4x+3f'(x) = x^2 - 4x + 3. Rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=1x=1 și x=3x=3. Studiind semnul derivatei întâi, funcția este crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty,1] \cup [3,\infty) și descrescătoare pe [1,3][1,3].
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2x−4f''(x) = 2x - 4. Rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0 obținând x=2x=2. Studiind semnul derivatei a doua, funcția este concavă pe (−∞,2)(-\infty,2) și convexă pe (2,∞)(2,\infty), cu punct de inflexiune în x=2x=2.
34 puncte
Observați că f(1)=13−2+3+1=73>0f(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \frac{7}{3} > 0, f(3)=9−18+9+1=1>0f(3) = 9 - 18 + 9 + 1 = 1 > 0, iar lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty și lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Din monotonie, pe (−∞,1](-\infty,1] funcția este crescătoare și continuă, deci trece de la −∞-\infty la f(1)>0f(1)>0, deci există o rădăcină unică pe acest interval. Pe [1,3][1,3], funcția este descrescătoare dar f(1)>0f(1)>0 și f(3)>0f(3)>0, deci nu are rădăcini. Pe [3,∞)[3,\infty), funcția este crescătoare de la f(3)>0f(3)>0 la ∞\infty, deci nu are rădăcini. Astfel, ecuația f(x)=0f(x)=0 are exact o rădăcină reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.