MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În spațiul cartezian, se dau punctele A(1,0,2)A(1,0,2), B(3,1,−1)B(3,1,-1), și C(0,2,1)C(0,2,1). Determinați ecuația vectorială a dreptei care trece prin AA și este perpendiculară pe planul (ABC)(ABC). Apoi, calculați distanța de la punctul D(4,3,0)D(4,3,0) la această dreaptă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează vectorii AB⃗=B⃗−A⃗=(2,1,−3)\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2,1,-3) și AC⃗=C⃗−A⃗=(−1,2,−1)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-1,2,-1). Vectorul normal la planul (ABC)(ABC) este n⃗=AB⃗×AC⃗=(5,5,5)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (5,5,5).
23 puncte
Ecuația vectorială a dreptei este r⃗=(1,0,2)+t(5,5,5)\vec{r} = (1,0,2) + t(5,5,5), unde t∈Rt \in \mathbb{R}.
33 puncte
Distanța de la DD la dreaptă: d=∣AD⃗×n⃗∣∣n⃗∣d = \frac{|\vec{AD} \times \vec{n}|}{|\vec{n}|}, cu AD⃗=(3,3,−2)\vec{AD} = (3,3,-2). Calculăm AD⃗×n⃗=(25,−25,0)\vec{AD} \times \vec{n} = (25,-25,0), deci ∣AD⃗×n⃗∣=252|\vec{AD} \times \vec{n}| = 25\sqrt{2}, ∣n⃗∣=53|\vec{n}| = 5\sqrt{3}, și d=563d = \frac{5\sqrt{6}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.