MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x = 1. c) Aflați valorile parametrului real mm pentru care ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9. Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x) = 0 dă x=−1x = -1 și x=3x = 3.
22 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pe intervalele (−∞,−1)(-\infty, -1) și (3,∞)(3, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare; pe intervalul (−1,3)(-1, 3), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff este strict descrescătoare.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvarea ecuației f′′(x)=0f''(x) = 0 dă x=1x = 1.
42 puncte
Studiul semnului lui f′′(x)f''(x): pe (−∞,1)(-\infty, 1), f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff este concavă; pe (1,∞)(1, \infty), f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff este convexă.
51 punct
Ecuația tangentei în x=1x = 1: y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x - 1). Calcul: f(1)=−6f(1) = -6, f′(1)=−12f'(1) = -12, deci ecuația este y=−12x+6y = -12x + 6.
61 punct
Pentru ca ecuația f(x)=mf(x) = m să aibă trei soluții distincte, mm trebuie să fie între valorile funcției în punctele de extrem local. Calcul: f(−1)=10f(-1) = 10, f(3)=−22f(3) = -22, deci m∈(−22,10)m \in (-22, 10).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.