MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Fie triunghiul ABCABC și punctele M∈BCM \in BC, N∈ACN \in AC astfel încât BMBC=13\frac{BM}{BC} = \frac{1}{3} și ANAC=25\frac{AN}{AC} = \frac{2}{5}. Fie PP intersecția dreptelor AMAM și BNBN. a) Exprimați vectorul AP⃗\vec{AP} în funcție de vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Calculați aria triunghiului PBCPBC în funcție de aria triunghiului ABCABC. c) Dacă AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 și unghiul BAC^=60∘\widehat{BAC} = 60^\circ, determinați măsura unghiului dintre dreptele AMAM și BNBN.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimă vectorii AM⃗\vec{AM} și BN⃗\vec{BN}. AM⃗=AB⃗+BM⃗=AB⃗+13BC⃗=AB⃗+13(AC⃗−AB⃗)=23AB⃗+13AC⃗\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}. BN⃗=BA⃗+AN⃗=−AB⃗+25AC⃗\vec{BN} = \vec{BA} + \vec{AN} = -\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}.
23 puncte
Găsește AP⃗\vec{AP} folosind faptul că PP este pe AMAM și BNBN, deci există α,β\alpha, \beta astfel încât AP⃗=αAM⃗\vec{AP} = \alpha \vec{AM} și BP⃗=βBN⃗\vec{BP} = \beta \vec{BN}. Din AP⃗=AB⃗+BP⃗\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP}, obține α(23AB⃗+13AC⃗)=AB⃗+β(−AB⃗+25AC⃗)\alpha \left(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\right) = \vec{AB} + \beta\left(-\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}\right). Egalează coeficienții lui AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}: 23α=1−β\frac{2}{3}\alpha = 1 - \beta, 13α=25β\frac{1}{3}\alpha = \frac{2}{5}\beta. Rezolvă sistemul: α=67\alpha = \frac{6}{7}, β=57\beta = \frac{5}{7}. Deci AP⃗=67(23AB⃗+13AC⃗)=47AB⃗+27AC⃗\vec{AP} = \frac{6}{7}\left(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\right) = \frac{4}{7}\vec{AB} + \frac{2}{7}\vec{AC}.
32 puncte
Calculează aria [PBC][PBC]. Folosește faptul că [PBC][ABC]=d(P,BC)d(A,BC)=BPBN⋅BMBC\frac{[PBC]}{[ABC]} = \frac{d(P, BC)}{d(A, BC)} = \frac{BP}{BN} \cdot \frac{BM}{BC} (din asemănare sau proprietăți de arie). BPBN=1−PNBN=1−APAM⋅ANAC\frac{BP}{BN} = 1 - \frac{PN}{BN} = 1 - \frac{AP}{AM} \cdot \frac{AN}{AC}? Mai simplu: din BP⃗=βBN⃗=57BN⃗\vec{BP} = \beta \vec{BN} = \frac{5}{7}\vec{BN}, deci BP=57BNBP = \frac{5}{7}BN. Atunci [PBC][ABC]=BPBN⋅BMBC=57⋅13=521\frac{[PBC]}{[ABC]} = \frac{BP}{BN} \cdot \frac{BM}{BC} = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{21}.
42 puncte
Pentru AB=6AB=6, AC=8AC=8, ∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ, calculează AM⃗⋅BN⃗\vec{AM} \cdot \vec{BN}. AM⃗=23AB⃗+13AC⃗\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}, BN⃗=−AB⃗+25AC⃗\vec{BN} = -\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}. Atunci AM⃗⋅BN⃗=(23AB⃗+13AC⃗)⋅(−AB⃗+25AC⃗)=−23∣AB∣2+415AB⃗⋅AC⃗−13AB⃗⋅AC⃗+215∣AC∣2=−23⋅36+(415−13)⋅6⋅8⋅cos⁡60∘+215⋅64=−24+(−115)⋅24+12815=−24−2415+12815=−24+10415=−360+10415=−25615\vec{AM} \cdot \vec{BN} = \left(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\right) \cdot \left(-\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}\right) = -\frac{2}{3}|AB|^2 + \frac{4}{15}\vec{AB}\cdot\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}\cdot\vec{AC} + \frac{2}{15}|AC|^2 = -\frac{2}{3}\cdot 36 + \left(\frac{4}{15}-\frac{1}{3}\right)\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^\circ + \frac{2}{15}\cdot 64 = -24 + \left(-\frac{1}{15}\right)\cdot 24 + \frac{128}{15} = -24 -\frac{24}{15} + \frac{128}{15} = -24 + \frac{104}{15} = \frac{-360+104}{15} = -\frac{256}{15}. Calculează ∣AM⃗∣|\vec{AM}| și ∣BN⃗∣|\vec{BN}|: ∣AM⃗∣2=(23AB⃗+13AC⃗)2=49⋅36+49AB⃗⋅AC⃗+19⋅64=16+49⋅24+649=16+969+649=16+1609=3049|\vec{AM}|^2 = \left(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}\right)^2 = \frac{4}{9}\cdot 36 + \frac{4}{9}\vec{AB}\cdot\vec{AC} + \frac{1}{9}\cdot 64 = 16 + \frac{4}{9}\cdot 24 + \frac{64}{9} = 16 + \frac{96}{9} + \frac{64}{9} = 16 + \frac{160}{9} = \frac{304}{9}, deci ∣AM⃗∣=4193|\vec{AM}| = \frac{4\sqrt{19}}{3}. ∣BN⃗∣2=(−AB⃗+25AC⃗)2=36−45AB⃗⋅AC⃗+425⋅64=36−45⋅24+25625=36−965+25625=900−480+25625=67625|\vec{BN}|^2 = (-\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC})^2 = 36 - \frac{4}{5}\vec{AB}\cdot\vec{AC} + \frac{4}{25}\cdot 64 = 36 - \frac{4}{5}\cdot 24 + \frac{256}{25} = 36 - \frac{96}{5} + \frac{256}{25} = \frac{900 - 480 + 256}{25} = \frac{676}{25}, deci ∣BN⃗∣=265|\vec{BN}| = \frac{26}{5}. Atunci cos⁡θ=AM⃗⋅BN⃗∣AM⃗∣∣BN⃗∣=−256/15(419/3)⋅(26/5)=−25615⋅1510419=−25610419=−642619=−321319\cos \theta = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{BN}}{|\vec{AM}||\vec{BN}|} = \frac{-256/15}{(4\sqrt{19}/3) \cdot (26/5)} = \frac{-256}{15} \cdot \frac{15}{104\sqrt{19}} = -\frac{256}{104\sqrt{19}} = -\frac{64}{26\sqrt{19}} = -\frac{32}{13\sqrt{19}}. Deci θ=arccos⁡(−321319)\theta = \arccos\left(-\frac{32}{13\sqrt{19}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.