MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=2i⃗+kj⃗\vec{v} = 2\vec{i} + k\vec{j}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui kk pentru care unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este de 45∘45^\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem formula produsului scalar în funcție de unghi: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta, cu θ=45∘\theta = 45^\circ și cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.
24 puncte
Calculăm u⃗⋅v⃗=3⋅2+4⋅k=6+4k\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot k = 6 + 4k, ∣u⃗∣=32+42=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣v⃗∣=22+k2=4+k2|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + k^2} = \sqrt{4 + k^2}.
33 puncte
Înlocuim în formulă: 6+4k=5⋅4+k2⋅226 + 4k = 5 \cdot \sqrt{4 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. Simplificăm la 12+8k=524+k212 + 8k = 5\sqrt{2} \sqrt{4 + k^2}, ridicăm la pătrat și rezolvăm ecuația pătratică, obținând k=2k = 2 sau k=−14k = -14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.