MediuMonotonie și convexitateClasa 12

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−4x+3)f(x) = e^{-x} (x^2 - 4x + 3). Studiați monotonia și convexitatea funcției ff, determinând intervalele pe care este crescătoare sau descrescătoare, respectiv convexă sau concavă. Apoi, găsiți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=0x=0 și calculați aria regiunii mărginite de graficul funcției, axa OxOx și dreptele x=1x=1 și x=3x=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=e−x(−x2+6x−7)f'(x) = e^{-x}(-x^2 + 6x - 7), găsiți punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0 și determinați intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,3−2](-\infty, 3-\sqrt{2}] și descrescătoare pe [3−2,∞)[3-\sqrt{2}, \infty).
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=e−x(x2−8x+13)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 8x + 13), găsiți punctele de inflexiune rezolvând f′′(x)=0f''(x)=0 și determinați intervalele de convexitate: ff este convexă pe (−∞,4−3](-\infty, 4-\sqrt{3}] și concavă pe [4−3,∞)[4-\sqrt{3}, \infty).
32 puncte
Ecuația tangentei în x=0x=0: f(0)=3f(0)=3, f′(0)=−7f'(0)=-7, deci y=−7x+3y = -7x + 3.
42 puncte
Calculați integrala definită ∫13f(x) dx=[−e−x(x2−2x+1)]13=−e−3(4)+e−1(0)=−4e−3\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \left[ -e^{-x}(x^2 - 2x + 1) \right]_{1}^{3} = -e^{-3}(4) + e^{-1}(0) = -4e^{-3}, aria este 4e−34e^{-3} (valoare pozitivă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.