MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie dreptunghiulară cu bază pătrată trebuie construită cu un volum de 32 m³. Materialul pentru bază costă 10 lei/m², pentru fețele laterale costă 6 lei/m², iar pentru capac costă 8 lei/m². Determinați dimensiunile cutiei pentru care costul total este minim. Discutați monotonia și convexitatea funcției cost în vederea stabilirii minimului.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Fie xx latura bazei (în m) și hh înălțimea (în m). Volumul: x2h=32x^2 h = 32. Costul total: C=10x2+4⋅6xh+8x2=18x2+24xhC = 10x^2 + 4 \cdot 6 x h + 8x^2 = 18x^2 + 24x h.
22 puncte
Din volum, h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Atunci C(x)=18x2+24x⋅32x2=18x2+768xC(x) = 18x^2 + 24x \cdot \frac{32}{x^2} = 18x^2 + \frac{768}{x}, pentru x>0x>0.
32 puncte
Calculați derivata: C′(x)=36x−768x2C'(x) = 36x - \frac{768}{x^2}. Aflați punctele critice: C′(x)=0⇒36x=768x2⇒x3=76836=643⇒x=6433=433C'(x)=0 \Rightarrow 36x = \frac{768}{x^2} \Rightarrow x^3 = \frac{768}{36} = \frac{64}{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{64}{3}} = \frac{4}{\sqrt[3]{3}}.
42 puncte
Studiați monotonia: pentru x<433x < \frac{4}{\sqrt[3]{3}}, C′(x)<0C'(x) <0, deci CC descrescătoare; pentru x>433x > \frac{4}{\sqrt[3]{3}}, C′(x)>0C'(x) >0, deci CC crescătoare. Prin urmare, x=433x = \frac{4}{\sqrt[3]{3}} este punct de minim.
51 punct
Calculați derivata a doua: C′′(x)=36+1536x3>0C''(x) = 36 + \frac{1536}{x^3} >0 pentru x>0x>0, deci CC este convexă, confirmând că punctul critic este minim.
61 punct
Dimensiunile: latura bazei x=433x = \frac{4}{\sqrt[3]{3}} m, înălțimea h=32x2=32(433)2=32⋅32/316=2⋅32/3h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{\left(\frac{4}{\sqrt[3]{3}}\right)^2} = \frac{32 \cdot 3^{2/3}}{16} = 2 \cdot 3^{2/3} m. Costul minim: C(433)=18(433)2+768433=18⋅1632/3+768⋅334=28832/3+19233C\left(\frac{4}{\sqrt[3]{3}}\right) = 18 \left(\frac{4}{\sqrt[3]{3}}\right)^2 + \frac{768}{\frac{4}{\sqrt[3]{3}}} = 18 \cdot \frac{16}{3^{2/3}} + 768 \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4} = \frac{288}{3^{2/3}} + 192 \sqrt[3]{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.