MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeTrigonometrie
Fie vectorii a⃗=xi⃗+yj⃗\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} și b⃗=2i⃗−j⃗\vec{b} = 2 \vec{i} - \vec{j}. Știind că ∣a⃗∣=3|\vec{a}| = 3 și a⃗⋅b⃗=4\vec{a} \cdot \vec{b} = 4, determinați xx și yy. Apoi, calculați unghiul θ\theta dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condițiile: ∣a⃗∣2=x2+y2=9|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 = 9 și a⃗⋅b⃗=2x−y=4\vec{a} \cdot \vec{b} = 2x - y = 4.
24 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: din 2x−y=42x - y = 4 avem y=2x−4y = 2x - 4. Înlocuim în x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 și obținem x2+(2x−4)2=9x^2 + (2x - 4)^2 = 9, adică x2+4x2−16x+16=9x^2 + 4x^2 - 16x + 16 = 9, deci 5x2−16x+7=05x^2 - 16x + 7 = 0. Soluțiile sunt x=16±256−14010=16±11610=16±22910=8±295x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 140}}{10} = \frac{16 \pm \sqrt{116}}{10} = \frac{16 \pm 2\sqrt{29}}{10} = \frac{8 \pm \sqrt{29}}{5}. Atunci y=2x−4y = 2x - 4.
33 puncte
Calculăm unghiul: cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=43⋅22+(−1)2=435=4515\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{4}{3 \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{3 \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}. Deci θ=arccos⁡(4515)\theta = \arccos \left( \frac{4\sqrt{5}}{15} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.