MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Liniare
Fie a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} doi vectori necoliniari în plan. Demonstrați că pentru orice vector c⃗\vec{c} există numerele reale α\alpha și β\beta unic determinate astfel încât c⃗=αa⃗+βb⃗\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}. Apoi, pentru a⃗=i⃗+2j⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j}, b⃗=3i⃗−j⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j}, și c⃗=5i⃗+j⃗\vec{c} = 5\vec{i} + \vec{j}, determinați α\alpha și β\beta.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătăm că a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} sunt necoliniari, de exemplu, verificând că determinantul coordonatelor este nenul: pentru a⃗=(1,2)\vec{a} = (1,2) și b⃗=(3,−1)\vec{b} = (3,-1), avem 1⋅(−1)−2⋅3=−7≠01 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 = -7 \neq 0, deci există descompunerea unică.
23 puncte
Scriem ecuația vectorială în coordonate: 5i⃗+j⃗=α(i⃗+2j⃗)+β(3i⃗−j⃗)=(α+3β)i⃗+(2α−β)j⃗5\vec{i} + \vec{j} = \alpha(\vec{i} + 2\vec{j}) + \beta(3\vec{i} - \vec{j}) = (\alpha + 3\beta)\vec{i} + (2\alpha - \beta)\vec{j}. Obținem sistemul liniar: α+3β=5\alpha + 3\beta = 5 și 2α−β=12\alpha - \beta = 1.
33 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație, α=5−3β\alpha = 5 - 3\beta. Înlocuim în a doua: 2(5−3β)−β=1⇒10−7β=1⇒β=972(5 - 3\beta) - \beta = 1 \Rightarrow 10 - 7\beta = 1 \Rightarrow \beta = \frac{9}{7}, apoi α=5−3⋅97=87\alpha = 5 - 3 \cdot \frac{9}{7} = \frac{8}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.