MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡xx+ax2+bf(x) = \frac{\ln x}{x} + ax^2 + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați aa și bb știind că graficul funcției ff are tangentă orizontală în punctul A(1,2)A(1, 2) și că funcția este concavă pe întreg domeniul său de definiție. Pentru valorile găsite, studiați monotonia și convexitatea funcției ff pe (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=1−ln⁡xx2+2axf'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} + 2ax.
21 punct
Condiția de tangentă orizontală în x=1x=1: f′(1)=0f'(1)=0 dă 1−01+2a=0\frac{1-0}{1} + 2a = 0, deci 1+2a=01+2a=0, rezultă a=−12a=-\frac{1}{2}.
31 punct
Condiția ca punctul A(1,2)A(1,2) să aparțină graficului: f(1)=2f(1)=2 dă 01+a+b=2\frac{0}{1} + a + b = 2, adică a+b=2a+b=2. Cu a=−12a=-\frac{1}{2}, se obține b=52b=\frac{5}{2}.
42 puncte
Se verifică concavitatea: f′′(x)=−3+2ln⁡xx3−1f''(x) = \frac{-3+2\ln x}{x^3} - 1 (după înlocuirea lui aa). Pentru x>0x>0, −3+2ln⁡xx3<1\frac{-3+2\ln x}{x^3} < 1 întotdeauna, deci f′′(x)<0f''(x) < 0, confirmând concavitatea.
52 puncte
Studiul monotoniei pentru a=−12a=-\frac{1}{2}, b=52b=\frac{5}{2}: f′(x)=1−ln⁡xx2−xf'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2} - x. Se observă f′(1)=0f'(1)=0. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), ln⁡x<0\ln x < 0, deci 1−ln⁡x>11-\ln x > 1 și 1−ln⁡xx2>1\frac{1-\ln x}{x^2} > 1, iar −x>−1-x > -1, deci f′(x)>0f'(x) > 0 (exemplu: f′(0.5)≈3>0f'(0.5) \approx 3 > 0). Pentru x>1x > 1, ln⁡x>0\ln x > 0, deci 1−ln⁡x<11-\ln x < 1 și 1−ln⁡xx2<1\frac{1-\ln x}{x^2} < 1, iar −x<−1-x < -1, deci f′(x)<0f'(x) < 0 (exemplu: f′(2)≈−1.92<0f'(2) \approx -1.92 < 0). Astfel, ff este strict crescătoare pe (0,1](0,1] și strict descrescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
62 puncte
Studiul convexității: f′′(x)=−3+2ln⁡xx3−1f''(x) = \frac{-3+2\ln x}{x^3} - 1. Pentru x>0x>0, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff este concavă pe (0,∞)(0, \infty); nu există puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.