MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−ax2f(x) = x \ln x - ax^2, unde aa este un parametru real pozitiv. a) Demonstrați că ff este strict descrescătoare pe (0,12a](0, \frac{1}{2a}] și strict crescătoare pe [12a,∞)[\frac{1}{2a}, \infty). b) Arătați că ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty). c) Aplicați proprietățile de monotonie și convexitate pentru a determina valoarea lui aa astfel încât minimul funcției să fie egal cu −1-1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivatele: f′(x)=ln⁡x+1−2axf'(x) = \ln x + 1 - 2ax și f′′(x)=1x−2af''(x) = \frac{1}{x} - 2a.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctul critic x=12ax = \frac{1}{2a}, apoi analizați semnul pe intervale pentru a demonstra monotonia.
32 puncte
Analizați semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0 dacă și numai dacă 1x>2a\frac{1}{x} > 2a, dar demonstrați că f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (0,∞)(0, \infty) folosind condiția a>0a > 0 pentru a stabili convexitatea.
42 puncte
Folosiți faptul că minimul se atinge în punctul critic x=12ax = \frac{1}{2a} (datorită monotoniei și convexității) și rezolvați ecuația f(12a)=−1f\left(\frac{1}{2a}\right) = -1 pentru a determina aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.