MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Fie punctele A(1, -1), B(3, 2) și C(-2, 4). Determinați măsura unghiului B în triunghiul ABC folosind produsul scalar al vectorilor AB→\overrightarrow{AB} și BC→\overrightarrow{BC}. Apoi, calculați aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculează vectorii AB→=B⃗−A⃗\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} și BC→=C⃗−B⃗\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B}. AB→=(2,3)\overrightarrow{AB} = (2, 3) și BC→=(−5,2)\overrightarrow{BC} = (-5, 2).
24 puncte
Calculează produsul scalar AB→⋅BC→=2⋅(−5)+3⋅2=−10+6=−4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -10 + 6 = -4, modulele ∣AB→∣=22+32=13|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}, ∣BC→∣=(−5)2+22=29|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29}, și cosinusul unghiului B: cos⁡B=AB→⋅BC→∣AB→∣∣BC→∣=−413⋅29=−4377\cos B = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-4}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{29}} = -\frac{4}{\sqrt{377}}. Unghiul B este arccos⁡(−4377)\arccos\left(-\frac{4}{\sqrt{377}}\right).
33 puncte
Aria triunghiului ABC se calculează cu formula A=12∣det⁡(AB→,AC→)∣A = \frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})|, unde AC→=C⃗−A⃗=(−3,5)\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3, 5). det⁡=2⋅5−3⋅(−3)=10+9=19\det = 2 \cdot 5 - 3 \cdot (-3) = 10 + 9 = 19, deci A=12⋅19=9.5A = \frac{1}{2} \cdot 19 = 9.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.