MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Să se determine intervalele de monotonie și punctele de inflexiune ale funcției ff. Utilizând rezultatele, să se găsească valorile extreme (maxim și minim) ale funcției g(x)=f(x)⋅(x2−1)g(x) = f(x) \cdot (x^2 - 1) pe intervalul [−2,2][-2, 2].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi a lui ff: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0. Intervalele de semn: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,0)(-\infty, 0) și f′(x)<0f'(x) < 0 pe (0,∞)(0, \infty), deci ff este crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty).
22 puncte
Calculăm derivata a doua a lui ff: f′′(x)=e−x2(4x2−2)f''(x) = e^{-x^2}(4x^2 - 2). Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. Intervalele de convexitate: f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (−∞,−12)∪(12,∞)(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}) \cup (\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) (convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−12,12)(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) (concavă), cu puncte de inflexiune la x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.
32 puncte
Definim g(x)=e−x2(x2−1)g(x) = e^{-x^2}(x^2 - 1) și calculăm derivata: g′(x)=e−x2(−2x)(x2−1)+e−x2(2x)=e−x2(2x−2x3+2x)=e−x2(4x−2x3)=2xe−x2(2−x2)g'(x) = e^{-x^2}(-2x)(x^2 - 1) + e^{-x^2}(2x) = e^{-x^2}(2x - 2x^3 + 2x) = e^{-x^2}(4x - 2x^3) = 2x e^{-x^2}(2 - x^2).
42 puncte
Se rezolvă g′(x)=0g'(x) = 0 pe [−2,2][-2, 2]: x=0x=0 sau x=±2x = \pm \sqrt{2}. Punctele critice sunt x=−2,−2,0,2,2x = -2, -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}, 2.
52 puncte
Evaluăm gg în punctele critice: g(−2)=e−4(4−1)=3e−4g(-2) = e^{-4}(4-1)=3e^{-4}, g(−2)=e−2(2−1)=e−2g(-\sqrt{2}) = e^{-2}(2-1)=e^{-2}, g(0)=e0(0−1)=−1g(0) = e^{0}(0-1)=-1, g(2)=e−2(2−1)=e−2g(\sqrt{2}) = e^{-2}(2-1)=e^{-2}, g(2)=e−4(4−1)=3e−4g(2) = e^{-4}(4-1)=3e^{-4}. Comparând, maximul este e−2e^{-2} la x=±2x = \pm \sqrt{2} și minimul este −1-1 la x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.