MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un semicerc de rază RR este dat de ecuația x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2, y≥0y \geq 0. Un dreptunghi este înscris în acest semicerc, cu baza pe diametrul de pe axa OxOx și vârfurile superioare pe semicerc. Exprimați aria AA a dreptunghiului în funcție de abscisa xx a unui vârf superior, studiați monotonia și convexitatea funcției A(x)A(x) și determinați dimensiunile dreptunghiului pentru care aria este maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Fie xx abscisa vârfului superior drept, cu 0≤x≤R0 \leq x \leq R; atunci înălțimea este y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}, iar baza este 2x2x, deci A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2}.
22 puncte
Calculați derivata întâi A′(x)=2R2−x2−2x2R2−x2=2(R2−2x2)R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - 2x^2)}{\sqrt{R^2 - x^2}}.
33 puncte
Studiați semnul lui A′(x)A'(x): A′(x)=0A'(x) = 0 pentru x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}}; A′(x)>0A'(x) > 0 pe [0,R2)[0, \frac{R}{\sqrt{2}}) și A′(x)<0A'(x) < 0 pe (R2,R](\frac{R}{\sqrt{2}}, R]; deci AA este strict crescătoare pe [0,R2][0, \frac{R}{\sqrt{2}}] și strict descrescătoare pe [R2,R][\frac{R}{\sqrt{2}}, R].
42 puncte
Calculați derivata a doua A′′(x)=−6xR2−x2+2x3R2−x2R2−x2=2x(2x2−3R2)(R2−x2)3/2A''(x) = \frac{-6x\sqrt{R^2 - x^2} + \frac{2x^3}{\sqrt{R^2 - x^2}}}{R^2 - x^2} = \frac{2x(2x^2 - 3R^2)}{(R^2 - x^2)^{3/2}}.
51 punct
Studiați semnul lui A′′(x)A''(x): A′′(x)=0A''(x) = 0 pentru x=0x=0 și x=R32x = \frac{R\sqrt{3}}{2}; A′′(x)>0A''(x) > 0 pe (0,R32)(0, \frac{R\sqrt{3}}{2}) și A′′(x)<0A''(x) < 0 pe (R32,R)(\frac{R\sqrt{3}}{2}, R); deci AA este convexă pe [0,R32][0, \frac{R\sqrt{3}}{2}] și concavă pe [R32,R][\frac{R\sqrt{3}}{2}, R].
61 punct
Valoarea maximă a ariei se atinge în x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}}, deci baza este 2x=R22x = R\sqrt{2}, înălțimea este R2−(R2)2=R2\sqrt{R^2 - (\frac{R}{\sqrt{2}})^2} = \frac{R}{\sqrt{2}}, iar aria maximă este A_{\text{\max}} = R^2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.