MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Să se determine intervalele de monotonie și punctele de inflexiune ale funcției. Apoi, să se arate că funcția este convexă pe (−∞,−12]∪[12,∞)(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}] \cup [\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty) și concavă pe [−12,12][-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 de unde x=0x=0. Pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x) > 0 deci ff este strict crescătoare, iar pe (0,∞)(0,\infty), f′(x)<0f'(x) < 0 deci ff este strict descrescătoare.
24 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0 de unde 4x2−2=04x^2 - 2 = 0, adică x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. Acestea sunt punctele de inflexiune.
33 puncte
Se studiază semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x<−12x < -\frac{1}{\sqrt{2}} sau x>12x > \frac{1}{\sqrt{2}}, f′′(x)>0f''(x) > 0 deci ff este convexă; pentru −12<x<12-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}, f′′(x)<0f''(x) < 0 deci ff este concavă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.