MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Determinați intervalele de monotonie și de convexitate ale funcției. Găsiți punctele de extrem și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 și obținem x=0x=0 (deoarece e−x2≠0e^{-x^2} \neq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}).
23 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x): pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x)>0 deci ff este strict crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0); pentru x>0x>0, f′(x)<0f'(x)<0 deci ff este strict descrescătoare pe (0,∞)(0, \infty).
32 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=e−x2(4x2−2)f''(x) = e^{-x^2}(4x^2 - 2). Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0 și obținem 4x2−2=04x^2 - 2 = 0, adică x2=12x^2 = \frac{1}{2}, deci x=−12x = -\frac{1}{\sqrt{2}} și x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}}.
42 puncte
Studiul semnului lui f′′(x)f''(x): pentru x<−12x < -\frac{1}{\sqrt{2}} sau x>12x > \frac{1}{\sqrt{2}}, f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff este convexă pe (−∞,−12)(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}) și (12,∞)(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty); pentru −12<x<12-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}, f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff este concavă pe (−12,12)(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}). Punctele de inflexiune sunt la x=−12x = -\frac{1}{\sqrt{2}} și x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}}. Punctul de extrem este maxim local la x=0x=0, f(0)=1f(0)=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.