MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Fie funcția f:[0,π]→Rf: [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. a) Studiați monotonia funcției pe [0,π][0, \pi]. b) Determinați intervalele pe care funcția este convexă sau concavă. c) Aflați punctele de extrem local și valorile extreme ale funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=e−x(cos⁡x−sin⁡x)f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x). Studiați semnul pe [0,π][0, \pi]: f′(x)=0f'(x) = 0 când cos⁡x=sin⁡x\cos x = \sin x, adică x=π4x = \frac{\pi}{4} (singurul punct critic în interval). Pentru x∈[0,π4)x \in [0, \frac{\pi}{4}), cos⁡x>sin⁡x\cos x > \sin x, deci f′(x)>0f'(x) > 0 și funcția crește; pentru x∈(π4,π]x \in (\frac{\pi}{4}, \pi], cos⁡x<sin⁡x\cos x < \sin x, deci f′(x)<0f'(x) < 0 și funcția descrește.
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=e−x(−2cos⁡x)=−2e−xcos⁡xf''(x) = e^{-x}(-2\cos x) = -2e^{-x}\cos x. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 când cos⁡x<0\cos x < 0, adică x∈(π2,π)x \in (\frac{\pi}{2}, \pi), deci funcția convexă pe (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi); f′′(x)<0f''(x) < 0 când cos⁡x>0\cos x > 0, adică x∈[0,π2)x \in [0, \frac{\pi}{2}), deci concavă pe [0,π2)[0, \frac{\pi}{2}). Punct de inflexiune la x=π2x = \frac{\pi}{2}.
33 puncte
Punctul de extrem local este la x=π4x = \frac{\pi}{4}, care este maxim local deoarece funcția trece de la creștere la descreștere. Valoarea maximă: f(π4)=e−π4sin⁡π4=e−π4⋅22f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. Valoarea minimă pe interval este la capete: f(0)=0f(0) = 0 și f(π)=0f(\pi) = 0, deci minimul este 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.