MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Se dau vectorii u⃗=2i⃗+3j⃗−k⃗\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}, v⃗=i⃗−j⃗+2k⃗\vec{v} = \vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}, w⃗=−i⃗+4j⃗+mk⃗\vec{w} = -\vec{i} + 4\vec{j} + m\vec{k}, unde mm este un număr real. a) Determinați valoarea lui mm pentru care vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} sunt coplanari. b) Pentru m=1m=1, exprimați vectorul a⃗=5i⃗−j⃗+3k⃗\vec{a} = 5\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} ca o combinație liniară de u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Pentru coplanaritate, produsul mixt u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0. Coordonatele: u⃗=(2,3,−1)\vec{u}=(2,3,-1), v⃗=(1,−1,2)\vec{v}=(1,-1,2), w⃗=(−1,4,m)\vec{w}=(-1,4,m). Se calculează determinantul: ∣23−11−12−14m∣=2((−1)m−8)−3(1⋅m−2⋅(−1))+(−1)(4−(−1))=2(−m−8)−3(m+2)−5=−2m−16−3m−6−5=−5m−27\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & m \end{vmatrix} = 2((-1)m - 8) - 3(1 \cdot m - 2 \cdot (-1)) + (-1)(4 - (-1)) = 2(-m-8) - 3(m+2) - 5 = -2m-16 -3m-6 -5 = -5m-27. Setat egal cu zero: −5m−27=0⇒m=−275-5m-27=0 \Rightarrow m = -\frac{27}{5}.
26 puncte
Pentru m=1m=1, w⃗=(−1,4,1)\vec{w}=(-1,4,1). Se caută scalarii x,y,zx,y,z astfel încât a⃗=xu⃗+yv⃗+zw⃗\vec{a} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}, adică sistemul: {2x+y−z=53x−y+4z=−1−x+2y+z=3\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ 3x - y + 4z = -1 \\ -x + 2y + z = 3 \end{cases}. step 2.1, 2 puncte: Scrierea sistemului. step 2.2, 4 puncte: Rezolvarea sistemului, de exemplu prin substituție: din prima ecuație, z=2x+y−5z = 2x + y - 5. Înlocuim în a treia: −x+2y+(2x+y−5)=3⇒x+3y=8-x + 2y + (2x + y - 5) = 3 \Rightarrow x + 3y = 8. Înlocuim zz în a doua: 3x−y+4(2x+y−5)=−1⇒11x+3y=193x - y + 4(2x + y - 5) = -1 \Rightarrow 11x + 3y = 19. Sistemul devine: {x+3y=811x+3y=19\begin{cases} x + 3y = 8 \\ 11x + 3y = 19 \end{cases}. Scăzând prima din a doua: 10x=11⇒x=111010x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{10}, apoi y=8−11103=6930=2310y = \frac{8 - \frac{11}{10}}{3} = \frac{69}{30} = \frac{23}{10}, și z=2⋅1110+2310−5=22+2310−5=4510−5=−510=−12z = 2\cdot\frac{11}{10} + \frac{23}{10} - 5 = \frac{22+23}{10} - 5 = \frac{45}{10} - 5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}. Deci a⃗=1110u⃗+2310v⃗−12w⃗\vec{a} = \frac{11}{10}\vec{u} + \frac{23}{10}\vec{v} - \frac{1}{2}\vec{w}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.