MediuMonotonie și convexitateClasa 12

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorIntegrale definite
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−x+1f(x) = \ln x - x + 1. a) Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. b) Utilizând studiul făcut, demonstrați că pentru orice x>0x > 0, avem ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1, iar egalitatea are loc doar pentru x=1x = 1. c) Aplicați inegalitatea pentru a arăta că ∫1eln⁡x dx≤e2−2e+12\int_1^e \ln x \, dx \leq \frac{e^2 - 2e + 1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați f′(x)=1x−1f'(x) = \frac{1}{x} - 1. Studiați semnul: pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty), f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare. Punctul x=1x=1 este maxim local.
23 puncte
Calculați f′′(x)=−1x2<0f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 pe (0,∞)(0,\infty), deci ff este concavă pe domeniu.
32 puncte
Din monotonia lui ff, avem f(x)≤f(1)=0f(x) \leq f(1) = 0 pentru orice x>0x > 0, adică ln⁡x−x+1≤0\ln x - x + 1 \leq 0, deci ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1. Egalitatea are loc doar când x=1x=1.
42 puncte
Aplicând inegalitatea, ln⁡x≤x−1\ln x \leq x - 1 pe [1,e][1,e], deci ∫1eln⁡x dx≤∫1e(x−1)dx=[x22−x]1e=e22−e−(12−1)=e2−2e+12\int_1^e \ln x \, dx \leq \int_1^e (x-1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^e = \frac{e^2}{2} - e - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{e^2 - 2e + 1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.