MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un bun al cărui cost total de producție este dat de funcția C(x)=x3−6x2+15x+10C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0 reprezintă cantitatea produsă (în mii de unități). Funcția cost marginal este M(x)=C′(x)M(x) = C'(x). Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției MM, și găsiți cantitatea pentru care costul marginal este minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați funcția cost marginal: M(x)=C′(x)=3x2−12x+15M(x) = C'(x) = 3x^2 - 12x + 15.
23 puncte
Studiați monotonie lui M(x)M(x): Calculați M′(x)=6x−12M'(x) = 6x - 12. M′(x)=0M'(x) = 0 pentru x=2x = 2. Pentru x∈[0,2)x \in [0,2), M′(x)<0M'(x) < 0, deci MM este descrescătoare; pentru x>2x > 2, M′(x)>0M'(x) > 0, deci MM este crescătoare. Intervalele de monotonie: MM descrescătoare pe [0,2)[0,2) și crescătoare pe (2,∞)(2,\infty).
32 puncte
Pentru convexitate, calculați M′′(x)=6M''(x) = 6, care este pozitivă pentru toți x≥0x \geq 0, deci MM este convexă pe [0,∞)[0,\infty).
43 puncte
Punctul de minim al lui MM este în x=2x = 2, deoarece derivata întâi se anulează și schimbă semn din negativ în pozitiv. Costul marginal minim este M(2)=3(2)2−12(2)+15=12−24+15=3M(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.