MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2)−xf(x) = \ln(x^2) - x. Studiați monotonia și convexitatea funcției și determinați punctul în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta y=x−1y = x - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul: (0,∞)(0, \infty). Derivata: f′(x)=2x−1f'(x) = \frac{2}{x} - 1.
22 puncte
Monotonia: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=2x=2; ff este crescătoare pe (0,2](0,2] și descrescătoare pe [2,∞)[2,\infty).
32 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=−2x2f''(x) = -\frac{2}{x^2}; f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x>0x>0, deci ff este concavă pe (0,∞)(0,\infty).
42 puncte
Tangenta paralelă cu y=x−1y = x - 1 are panta m=1m = 1, deci f′(x)=1f'(x) = 1.
52 puncte
Rezolvând 2x−1=1\frac{2}{x} - 1 = 1, obținem 2x=2\frac{2}{x} = 2, deci x=1x=1. Punctul este (1,f(1))=(1,ln⁡(1)−1)=(1,−1)(1, f(1)) = (1, \ln(1) - 1) = (1, -1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.