MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Se consideră vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} în plan, cu ∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=1|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 și a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}. Determinați unghiurile dintre perechile de vectori a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, a⃗\vec{a} și c⃗\vec{c}, b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din condiția a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, exprimăm c⃗=−a⃗−b⃗\vec{c} = -\vec{a} - \vec{b}.
24 puncte
Calculăm ∣c⃗∣2|\vec{c}|^2 folosind produsul scalar: ∣c⃗∣2=(−a⃗−b⃗)⋅(−a⃗−b⃗)=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+2a⃗⋅b⃗|\vec{c}|^2 = (-\vec{a} - \vec{b}) \cdot (-\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}.
33 puncte
Înlocuind ∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=1|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1, obținem 1=1+1+2a⃗⋅b⃗1 = 1 + 1 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}, deci a⃗⋅b⃗=−12\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}. Așadar, unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} este arccos⁡(−12)=120∘\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ. Din simetrie, toate unghiurile sunt egale, deci și a⃗⋅c⃗=−12\vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{2} și b⃗⋅c⃗=−12\vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{2}, iar unghiurile sunt 120∘120^\circ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.