MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=e−x2⋅(x2−1)f(x) = e^{-x^2} \cdot (x^2 - 1). Determinați intervalele de monotonie (crescătoare/descrescătoare) și intervalele de convexitate (convexă/concavă) ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=e−x2⋅(−2x)(x2−1)+e−x2⋅2x=e−x2⋅(−2x3+2x+2x)=e−x2⋅(−2x3+4x)f'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x)(x^2 - 1) + e^{-x^2} \cdot 2x = e^{-x^2} \cdot (-2x^3 + 2x + 2x) = e^{-x^2} \cdot (-2x^3 + 4x). \
23 puncte
Determinați punctele critice: Rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0. Deoarece e−x2>0e^{-x^2} > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, avem −2x3+4x=0⇒−2x(x2−2)=0-2x^3 + 4x = 0 \Rightarrow -2x(x^2 - 2) = 0, deci x=0x = 0 sau x=2x = \sqrt{2} sau x=−2x = -\sqrt{2}. \
32 puncte
Studiați semnul derivatei întâi pe intervalele (−∞,−2)(-\infty, -\sqrt{2}), (−2,0)(-\sqrt{2}, 0), (0,2)(0, \sqrt{2}), (2,∞)(\sqrt{2}, \infty) pentru a stabili monotonie: ff este crescătoare unde f′(x)>0f'(x) > 0 și descrescătoare unde f′(x)<0f'(x) < 0. \
43 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x2⋅(6x4−12x2+4)f''(x) = e^{-x^2} \cdot (6x^4 - 12x^2 + 4) (după simplificări) și studiați semnul ei pentru a determina intervalele de convexitate: ff este convexă unde f′′(x)>0f''(x) > 0 și concavă unde f′′(x)<0f''(x) < 0, găsind punctele de inflexiune unde f′′(x)=0f''(x) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.