MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un produs, iar costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, măsurat în mii de lei, cu x≥0x \geq 0. a) Determinați intervalul de producție pentru care costul marginal este descrescător. b) Aflați nivelul de producție pentru care costul mediu este minim. c) Studiați convexitatea funcției cost total și interpretați rezultatul în context economic.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Costul marginal este C′(x)=0.3x2−6x+30C'(x) = 0.3x^2 - 6x + 30. Pentru a studia monotonia costului marginal, se derivează C′(x)C'(x): (C′(x))′=C′′(x)=0.6x−6(C'(x))' = C''(x) = 0.6x - 6. Se rezolvă C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru a afla unde C′(x)C'(x) este descrescător: 0.6x−6<0⇒x<100.6x - 6 < 0 \Rightarrow x < 10. Considerând x≥0x \geq 0, intervalul este [0,10)[0,10).
24 puncte
Costul mediu este CM(x)=C(x)x=0.1x2−3x+30+100xCM(x) = \frac{C(x)}{x} = 0.1x^2 - 3x + 30 + \frac{100}{x}, pentru x>0x>0. Se calculează derivata: CM′(x)=0.2x−3−100x2CM'(x) = 0.2x - 3 - \frac{100}{x^2}. Se rezolvă CM′(x)=0CM'(x)=0: 0.2x−3−100x2=00.2x - 3 - \frac{100}{x^2} = 0, înmulțind cu x2x^2: 0.2x3−3x2−100=00.2x^3 - 3x^2 - 100=0, sau x3−15x2−500=0x^3 - 15x^2 - 500=0. Se verifică x=10x=10: 103−15⋅102−500=1000−1500−500=010^3 - 15 \cdot 10^2 - 500 = 1000 - 1500 - 500 =0, deci x=10x=10 este soluție. Studiind semnul derivatei, CM′(x)<0CM'(x) < 0 pentru x<10x<10 și CM′(x)>0CM'(x) > 0 pentru x>10x>10, astfel x=10x=10 este punct de minim.
33 puncte
Convexitatea funcției CC: C′′(x)=0.6x−6C''(x) = 0.6x - 6. C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru x<10x<10 (funcția este concavă), C′′(x)>0C''(x) > 0 pentru x>10x>10 (funcția este convexă). Interpretare economică: Pentru x<10x<10, costul total crește într-un ritm descrescător, indicând economii de scară; pentru x>10x>10, crește într-un ritm crescător, indicând ineficiențe, iar x=10x=10 este punctul de eficiență optimă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.