MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x2−3x+1x2−1f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1}. Să se studieze monotonia și convexitatea acestei funcții. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem local, intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Determinarea domeniului de definiție: R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.
22 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=(4x−3)(x2−1)−(2x2−3x+1)(2x)(x2−1)2=4x3−3x2−4x+3−4x3+6x2−2x(x2−1)2=3x2−6x+3(x2−1)2=3(x−1)2(x2−1)2f'(x) = \frac{(4x - 3)(x^2 - 1) - (2x^2 - 3x + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 - 4x^3 + 6x^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2 - 6x + 3}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3(x - 1)^2}{(x^2 - 1)^2}.
32 puncte
Studiul semnului derivatei întâi pentru monotonie: f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈R∖{−1,1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, deoarece (x−1)2≥0(x - 1)^2 \geq 0 și (x2−1)2>0(x^2 - 1)^2 > 0. Funcția este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1), pe (−1,1)(-1, 1) și pe (1,+∞)(1, +\infty). Nu există puncte de extrem local.
42 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=(3(x−1)2(x2−1)2)′=6(x−1)(x2−1)2−3(x−1)2⋅2(x2−1)⋅2x(x2−1)4=6(x−1)(x2−1)[(x2−1)−2x(x−1)](x2−1)4=6(x−1)[x2−1−2x2+2x](x2−1)3=6(x−1)(−x2+2x−1)(x2−1)3=−6(x−1)(x2−2x+1)(x2−1)3=−6(x−1)3(x2−1)3f''(x) = \left( \frac{3(x - 1)^2}{(x^2 - 1)^2} \right)' = \frac{6(x - 1)(x^2 - 1)^2 - 3(x - 1)^2 \cdot 2(x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^4} = \frac{6(x - 1)(x^2 - 1) \left[ (x^2 - 1) - 2x(x - 1) \right]}{(x^2 - 1)^4} = \frac{6(x - 1) \left[ x^2 - 1 - 2x^2 + 2x \right]}{(x^2 - 1)^3} = \frac{6(x - 1)(-x^2 + 2x - 1)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{-6(x - 1)(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{-6(x - 1)^3}{(x^2 - 1)^3}.
52 puncte
Studiul semnului derivatei a doua pentru convexitate: f′′(x)=−6(x−1)3(x+1)3(x−1)3=−6(x+1)3f''(x) = \frac{-6(x - 1)^3}{(x + 1)^3 (x - 1)^3} = \frac{-6}{(x + 1)^3}, pentru x≠1x \neq 1. Sunt două intervale: (−∞,−1)(-\infty, -1) și (−1,1)∪(1,+∞)(-1, 1) \cup (1, +\infty). Pentru x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1), (x+1)3<0(x + 1)^3 < 0, deci f′′(x)>0f''(x) > 0; funcția este convexă. Pentru x∈(−1,1)∪(1,+∞)x \in (-1, 1) \cup (1, +\infty), (x+1)3>0(x + 1)^3 > 0, deci f′′(x)<0f''(x) < 0; funcția este concavă.
61 punct
Concluzii: Intervale de monotonie: crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1), (−1,1)(-1, 1), (1,+∞)(1, +\infty). Puncte de extrem: nu există. Intervale de convexitate: convexă pe (−∞,−1)(-\infty, -1), concavă pe (−1,1)(-1, 1) și pe (1,+∞)(1, +\infty). Puncte de inflexiune: nu există deoarece derivata a doua nu își schimbă semnul în punctele critice ale sale (doar x=−1x = -1 nu aparține domeniului).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.