MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. Știind că ff are un punct de inflexiune în x=1x=1, că tangenta la graficul lui ff în punctul de abscisă x=2x=2 are panta egală cu 3, și că f(1)=0f(1)=0, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și studiați monotonie și convexitatea funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea condițiilor din enunț: f′′(1)=0f''(1)=0, f′(2)=3f'(2)=3, f(1)=0f(1)=0.
22 puncte
Calculul derivatelor: f′(x)=3x2+2ax+bf'(x)=3x^2+2ax+b, f′′(x)=6x+2af''(x)=6x+2a.
32 puncte
Rezolvarea ecuațiilor: din f′′(1)=0f''(1)=0 rezultă 6+2a=06+2a=0 deci a=−3a=-3; din f′(2)=3f'(2)=3 rezultă 12+2a+b=312+2a+b=3 și cu a=−3a=-3 obținem b=−3b=-3; din f(1)=0f(1)=0 rezultă 1+a+b+c=01+a+b+c=0 deci c=5c=5.
42 puncte
Studiul monotoniei: se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 adică 3x2−6x−3=03x^2-6x-3=0 sau x2−2x−1=0x^2-2x-1=0 cu soluțiile x=1±2x=1\pm\sqrt{2}; se studiază semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele (−∞,1−2)(-\infty, 1-\sqrt{2}), (1−2,1+2)(1-\sqrt{2}, 1+\sqrt{2}), (1+2,∞)(1+\sqrt{2}, \infty).
52 puncte
Studiul convexității: se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 adică 6x−6=06x-6=0 deci x=1x=1; se studiază semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)<0f''(x)<0 pentru x<1x<1 (concavă) și f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x>1x>1 (convexă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.