MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac trebuie construită dintr-o bucată de carton pătrată cu latura de 12 cm, prin tăierea pătratelor egale din colțuri și îndoirea marginilor. Determinați dimensiunile pătratelor tăiate astfel încât volumul cutiei să fie maxim. Studiați monotonia și convexitatea funcției volum în raport cu latura pătratului tăiat.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Definește variabila și funcția volum. Fie xx latura pătratului tăiat, cu x∈(0,6)x \in (0,6). Atunci volumul este V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12-2x)^2.
23 puncte
Calculează derivata întâi: V′(x)=(12−2x)2−4x(12−2x)=4(6−x)(6−3x)V'(x) = (12-2x)^2 - 4x(12-2x) = 4(6-x)(6-3x). Rezolvă V′(x)=0V'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: x=2x=2 și x=6x=6 (dar x=6x=6 nu este în domeniu, deci x=2x=2).
32 puncte
Studiază monotonia: pe (0,2)(0,2) V′(x)>0V'(x) > 0, deci VV crescătoare; pe (2,6)(2,6) V′(x)<0V'(x) < 0, deci VV descrescătoare. Astfel, x=2x=2 este punct de maxim.
42 puncte
Calculează derivata a doua: V′′(x)=−96+24xV''(x) = -96 + 24x. Rezolvă V′′(x)=0V''(x)=0 pentru x=4x=4. Pe (0,4)(0,4) V′′(x)<0V''(x) < 0, deci VV concavă; pe (4,6)(4,6) V′′(x)>0V''(x) > 0, deci VV convexă.
51 punct
Concluzionează că pentru x=2x=2 cm, volumul este maxim, și V′′(2)<0V''(2) < 0 confirmă un maxim local. Dimensiunile cutiei: lățimea și lungimea de 88 cm, înălțimea de 22 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.