MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăTrigonometrie
Fie punctele A(1,2)A(1,2), B(4,6)B(4,6) și C(7,4)C(7,4) în planul cartezian. Calculați lungimea medianei din AA a triunghiului ABCABC și determinați măsura unghiului format de mediana din AA cu latura BCBC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aflați coordonatele punctului MM, mijlocul segmentului BCBC: M(4+72,6+42)=M(5.5,5)M\left(\frac{4+7}{2}, \frac{6+4}{2}\right) = M(5.5, 5).
23 puncte
Calculați vectorul AM→=(5.5−1,5−2)=(4.5,3)\overrightarrow{AM} = (5.5-1, 5-2) = (4.5, 3) și lungimea sa: ∥AM→∥=4.52+32=20.25+9=29.25=1172\|\overrightarrow{AM}\| = \sqrt{4.5^2 + 3^2} = \sqrt{20.25 + 9} = \sqrt{29.25} = \frac{\sqrt{117}}{2}.
32 puncte
Calculați vectorul BC→=(7−4,4−6)=(3,−2)\overrightarrow{BC} = (7-4, 4-6) = (3, -2) și lungimea sa: ∥BC→∥=32+(−2)2=13\|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}.
43 puncte
Folosiți produsul scalar: AM→⋅BC→=4.5⋅3+3⋅(−2)=13.5−6=7.5\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = 4.5 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 13.5 - 6 = 7.5. Calculați cosinusul unghiului θ\theta: cos⁡θ=AM→⋅BC→∥AM→∥⋅∥BC→∥=7.529.25⋅13=7.5380.25=7.5380.25\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{AM}\| \cdot \|\overrightarrow{BC}\|} = \frac{7.5}{\sqrt{29.25} \cdot \sqrt{13}} = \frac{7.5}{\sqrt{380.25}} = \frac{7.5}{\sqrt{380.25}}. Simplificați sau calculați numeric: θ=arccos⁡(7.5380.25)\theta = \arccos\left(\frac{7.5}{\sqrt{380.25}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.