MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații Neliniare
În sistemul de coordonate xOy, vectorul u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} are modulul 5. Un alt vector v⃗\vec{v} are modulul 5 și formează cu u⃗\vec{u} un unghi de 60∘60^\circ. Determinați coordonatele lui v⃗\vec{v}, știind că componenta sa pe axa Ox este pozitivă.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Calculăm ∣u⃗∣=32+42=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.
22 puncte
Produsul scalar: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡60∘=5⋅5⋅12=252\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos 60^\circ = 5 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2}.
31 punct
Fie v⃗=xi⃗+yj⃗\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}, atunci 3x+4y=2523x + 4y = \frac{25}{2}.
41 punct
Modulul lui v⃗\vec{v}: x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.
53 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: din 3x+4y=2523x + 4y = \frac{25}{2}, exprimăm y=258−34xy = \frac{25}{8} - \frac{3}{4}x; înlocuim în x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 și obținem ecuația 4x2−12x−39=04x^2 - 12x - 39 = 0; soluțiile sunt x=3±432x = \frac{3 \pm 4\sqrt{3}}{2}; alegem x=3+432x = \frac{3 + 4\sqrt{3}}{2} (pozitiv); apoi calculăm y=2−332y = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}.
62 puncte
Coordonatele lui v⃗\vec{v} sunt (3+432,2−332)\left(\frac{3 + 4\sqrt{3}}{2}, 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.