MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția g:(0,∞)→Rg : (0, \infty) \to \mathbb{R}, g(x)=ln⁡x−x+1g(x) = \ln x - x + 1. Studiați monotonia și convexitatea funcției gg. Utilizați acest studiu pentru a demonstra inegalitatea ln⁡a≤a−1\ln a \leq a - 1 pentru orice a>0a > 0, cu egalitate doar pentru a=1a=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați g′(x)=1x−1g'(x) = \frac{1}{x} - 1.
23 puncte
Determinați semnul lui g′(x)g'(x): g′(x)>0g'(x) > 0 pentru 0<x<10 < x < 1, g′(x)<0g'(x) < 0 pentru x>1x > 1, g′(x)=0g'(x) = 0 pentru x=1x=1. Deci, gg este crescătoare pe (0,1](0,1] și descrescătoare pe [1,∞)[1,\infty).
32 puncte
Calculați g′′(x)=−1x2g''(x) = -\frac{1}{x^2}.
42 puncte
g′′(x)<0g''(x) < 0 pentru x>0x > 0, deci gg este concavă pe (0,∞)(0,\infty).
51 punct
Din monotonia lui gg, g(x)≤g(1)g(x) \leq g(1) pentru orice x>0x > 0. g(1)=ln⁡1−1+1=0g(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0. Deci, g(x)≤0  ⟹  ln⁡x−x+1≤0  ⟹  ln⁡x≤x−1g(x) \leq 0 \implies \ln x - x + 1 \leq 0 \implies \ln x \leq x - 1, cu egalitate pentru x=1x=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.