MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Studiați monotonia și convexitatea acestei funcții. Apoi, determinați aria maximă a unui dreptunghi care poate fi înscris sub graficul funcției pe intervalul [0,∞)[0, \infty), cu baza pe axa Ox și înălțimea egală cu valoarea funcției la capătul drept al bazei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Se studiază semnul: pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x)>0, deci ff crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0]; pentru x>0x>0, f′(x)<0f'(x)<0, deci ff descrescătoare pe [0,∞)[0,\infty); în x=0x=0, f′(0)=0f'(0)=0, punct de maxim.
23 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0, obținând x=±12x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}. Se studiază semnul: pentru x∈(−12,12)x \in (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă; pentru x<−12x < -\frac{1}{\sqrt{2}} sau x>12x > \frac{1}{\sqrt{2}}, f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă.
34 puncte
Fie t≥0t \geq 0, baza dreptunghiului este intervalul [0,t][0,t] pe Ox, iar înălțimea este f(t)f(t), deci aria este A(t)=t⋅f(t)=te−t2A(t) = t \cdot f(t) = t e^{-t^2}. Se derivează: A′(t)=e−t2(1−2t2)A'(t) = e^{-t^2}(1 - 2t^2). Se rezolvă A′(t)=0A'(t)=0 pentru t≥0t\geq0, obținând t=12t=\frac{1}{\sqrt{2}}. Se verifică că A′(t)>0A'(t)>0 pentru t<12t<\frac{1}{\sqrt{2}} și A′(t)<0A'(t)<0 pentru t>12t>\frac{1}{\sqrt{2}}, deci t=12t=\frac{1}{\sqrt{2}} este punct de maxim. Aria maximă este A(12)=12e−1/2A\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-1/2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.