MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Demonstrați că ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty) și folosiți aceasta pentru a arăta că pentru orice a,b>0a, b > 0, avem aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.
23 puncte
Pentru x>0x > 0, f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0, deci funcția ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
33 puncte
Folosind proprietatea funcțiilor convexe, pentru orice x,y>0x, y > 0, avem f(x+y2)≤f(x)+f(y)2f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}. Aplicăm cu x=ax=a și y=by=b: f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}.
42 puncte
Înlocuim f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x: a+b2ln⁡(a+b2)−a+b2≤aln⁡a−a+bln⁡b−b2\frac{a+b}{2} \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} \leq \frac{a \ln a - a + b \ln b - b}{2}. Simplificăm: înmulțim cu 2: (a+b)ln⁡(a+b2)−(a+b)≤aln⁡a+bln⁡b−(a+b)(a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) - (a+b) \leq a \ln a + b \ln b - (a+b). Anulăm −(a+b)-(a+b) de ambele părți, obținem (a+b)ln⁡(a+b2)≤aln⁡a+bln⁡b(a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq a \ln a + b \ln b, care este echivalent cu inegalitatea cerută.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.